Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

В математической физике, теорема Лиувилля, названная по имени французкого математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в статистической и гамильтоновой механике. Она гласит, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна вдоль траекторий системы - плотность точек системы около данной точки системы, движущихся через фазовое пространство постоянно во времени.

Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения в фазовом пространстве(хотя плотность правильный математический термин, но физики называют это распределением). Рассмотрим динамическую систему с координатами qi и сопряжёнными импульсами pi, где i=1,\dots,d. Тогда распределение в фазвом пространстве ρ(p,q) определяет вероятность \rho(p,q)\,d^dq\,d^dp, что частица будет найдена в малом объёме d^dq\,d^dp. Уравнение Лиувилля управляет эволюцией ρ(p,q;t) во времени t:

\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.

Производная по времени обозначается точками, и оценивается согласно уравнениям Гамильтона для системы. Это уравнение демонстрирует сохранение плотности в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля гласит

Функция распределения постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Простое доказательство теоремы состоит в наблюденнии, что эволюция ρ определяется уравнением неразрывности:

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)=0.

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только следующими слагаемыми

\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right)=\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i}-\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right)=0,

где Hгамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы, теорема означает, что конвективная производная плотности dρ / dt равна нулю, что следут из уравнения непрерывности, замечая, что поле скоростей (\dot p , \dot q) в фазовом пространстве бездивергентно (это следует из гамильтоновых уравнений).

Другая иллюстрация состоит в том, чтобы рассмотреть траекторию множества точек в фазовом пространстве. Легко показать, что множество траекторий растягивается в одной координате, скажем – pi – но сжимается по другой координате qi так, что произведение ΔpiΔqi остаётся константой.

—== Физическая интерпретация == Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

N=\int d^dq\,d^dp\,\rho(p,q)

(Нормировочный множитель обычно включается в меру фазового пространства, но здесь опущен.) В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле сил \mathbf{F} с координатами \mathbf{x} и импульсами \mathbf{p}, теорему Лиувилля можно записать в виде

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla_\mathbf{x}\rho+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{p}\rho=0,

где \mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}} — скорость. В астрофизике это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана, и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц двигающихся в гравитационном потенциале.

В классической статистической механике число частиц N огромно, (обычно по порядку величины число Авогадро, в лабораторных условиях). Полагая, что \partial\rho/\partial t=0 даёт уравнение для стационарных состояний системы, можно найти плотность микросостояний доступных в данном статистическом ансамбле. Уравнение для стационарных состояний удовлетворяет выражению ρ равно любой функции гамильтониана H: в частности, распределению Максвелла-Больцмана \rho\propto e^{-H/kT}, где Tтемпература, kпостоянная Больцмана.

Смотрите также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль.

Другие формулировки

Теорему часто формулируют в терминах скобок Пуассона:

\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}

или оператора Лиувилля,

\hat{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],

как

\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\hat{L}}\rho =0.

Другой способ формулировки теоремы Лиувилля заключается в том, чтобы сказать, что фазовый объём Γ сохраняется при сдвигах времени. Если

\int_\Gamma d^dq\,d^dp = C,

и Γ(t) множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество Γ в момент времени t, тогда

\int_{\Gamma(t)} d^dq\,d^dp = C,

для всех времён t. Объём фазового пространства сохраняется. Поскольку эволюция во времени в гамильтоновой сеханике каноническое преобразование, это может быть доказано если показать, что все канонические преобразования имеют якобиан единичный якобиан.

Замечания

  • Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтоновую механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

\frac{\partial}{\partial t}\rho=-\frac{i}{\hbar}[\rho,H]
где ρ матрица плотности.
  • Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики. Обобщение на системы со столкновениями называется уравнением Больцмана.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home