Ковариантное дифференцирование

Предлагается объединить эту статью с Ковариантная производная. (Обсудить)

В математике под ковариантным дифференцированием подразумевается операция взятия ковариантной производной от тензорного поля, заданного на некотором многообразии. Частными случаями тензорных полей являются скалярное и векторное поле. Ковариантная производная тензорного поля имеет по сравнению с частной производной дополнительные слагаемые, которые содержат символы Кристоффеля.

Общая формула для ковариантной производной

Пусть тензорное поле типа (p, q) задано своими компонентами {T^{i_1 i_2...i_p}}_{j_1 j_2 ... j_q}(\mathbf{x}) в некоторой локальной системе координат xk, причем компоненты - дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа (p,q+1), который определяется по формуле:

\nabla_\ell{T^{i_1 i_2...i_p}}_{j_1 j_2 ... j_q} = \frac{\partial {T^{i_1 i_2...i_p}}_{j_1 j_2 ... j_q}}{\partial x^\ell} + \sum_{k=1}^p {T^{i_1 ... k ...i_p}}_{j_1 j_2 ... j_q} \Gamma^{i_k} {}_{\ell k} - \sum_{m=1}^q {T^{i_1 i_2 ... i_p}}_{j_1 ...m... j_q} \Gamma^{m} {}_{\ell j_m}

где Γkij - символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.

Примеры для некоторых типов тензорных полей

Ковариантная производная векторного поля V^m\ имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,

\nabla_\ell V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^\ell} + \Gamma^m {}_{k\ell} V^k.\

Ковариантная производная скалярного поля \varphi\ совпадает с частной производной,

\nabla_i \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}\

а ковариантная производная ковекторного поля \omega_m\ -

\nabla_\ell \omega_m = \frac{\partial \omega_m}{\partial x^\ell} - \Gamma^k {}_{\ell m} \omega_k.\

В пространстве без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

\nabla_i\nabla_j \varphi = \nabla_j\nabla_i \varphi\

В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

Ковариантная производная тензорного поля типа (2,0) A^{ik}\ равна

\nabla_\ell A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^\ell} + \Gamma^i {}_{m\ell} A^{mk} + \Gamma^k {}_{m\ell} A^{im}, \

то есть,

A^{ik} {}_{;\ell} = A^{ik} {}_{,\ell} + A^{mk} \Gamma^i {}_{m\ell} + A^{im} \Gamma^k {}_{m\ell}. \

Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна

A^i {}_{k;\ell} = A^i {}_{k,\ell} + A^{m} {}_k \Gamma^i {}_{m\ell} - A^i {}_m \Gamma^m {}_{k\ell}, \

наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа (0,2),

A_{ik;\ell} = A_{ik,\ell} - A_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - A_{im} \Gamma^m {}_{k\ell}. \

См. также

Ковариантная производная

Символы Кристоффеля

Связность Леви-Чивита

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home