Пфаффиан

Определитель кососимметричной матрицы можно представить как квадрат некоторого многочлена от элементов матрицы. Этот многочлен называется пфаффиан. Как и определитель, пфаффиан не обнуляется только для 2n × 2n кососимметричных матриц и в этом случае является многочленом степени n от элементов матрицы.

Содержание

Примеры

\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix} \end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.

Стандартное определение

Пусть Π обозначает множество всех разбиений {1,2,..,2n} на неупорядоченные пары (всего существует (2n - 1)!! таких разбиений). Разбиение \alpha\in \Pi, может быть записано

\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}

где ik < jk и i_1 < i_2 < \cdots < i_n. Пусть

\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}

обозначает соответственную перестановку, определим знак sgn(α) как знак перестановки sgn(π). Нетрудно видеть что sgn(α) не зависит от выбора π.

Пусть A = {aij} обозначает 2n×2n кососимметричную матрицу. Для разбиения α определим

A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.

Теперь можно определить пфаффиан A как

\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.

Пфаффиан n×n кососимметричной матрицы для нечётного n является нулём по определению.

Альтернативное определение

Для 2n×2n кососимметричной матрицы A = {aij} рассмотрим бивектор:

\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.

где \{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\} есть стандартный базис в \mathbb R^{2n}. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},

где ωn обозначает внешнее произведение n копий ω.

Свойства

Для 2n × 2n кососимметричной матрицы A и для произвольной 2n × 2n матрицы B:

  • Pf(A)2 = det(A)
  • Pf(BABT) = det(B)Pf(A)
  • Pf(λA) = λnPf(A)
  • Pf(AT) = ( - 1)nPf(A)
  • Для блок-диагональной матрицы
\mbox{Pf}\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).
  • Для произвольной n × n матрицы M:
\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M.

История

Термин «пфаффиан» был введён Артуром Кэли (Arthur Cayley) и назван в честь немецкого математика Йохана Фридриха Пфаффа (Johann Friedrich Pfaff).

Литература

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home