Квадратичная форма

Квадратичной формой называется функция B(x) = A(x,x) из линейного пространства L в \mathbb R, которая получается из билинейной формы A(x,y) при x = y.

При фиксированном базисе e_1,\ldots,e_n в L квадратичная форма имеет вид

A(x,x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^i x^j=a_{ij}x^i x^j (по соглашению Эйнштейна),

где x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n=x^i e_i, а aij = aji.

Матрицу (aij) называют матрицей квадратичной формы в данном базисе.

Свойства

  • Симметричную билинейную форму A(x,y), называют полярной квадратичной форме A(x,x). Матрица билинейной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.
  • Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе - вырожденной.
  • Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого x\neq 0 A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
    • Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все еë угловые миноры матрицы строго положительны.
  • Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
  • Квадратичная форма A(x,x) называется квазизнакоопределённой, если A(x,x)\geq 0 (A(x,x)\leq 0), но форма не является знакоопределённой.

Для определения к какому из этих трёх типов относится квадратичная форма можно воспользоваться критерием Сильвестра.

  • Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид: A(x,x) = λi(xi)2.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home