Теорема синусов

Теоре́ма си́нусовтеорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:

Для произвольного треугольника

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R,

где a, b, c — стороны треугольника, α,β,γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной около треугольника окружности.


Доказательство

Достаточно доказать что

\frac{a}{\sin\alpha} = 2R.

Проведем диаметр | BG | для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол \angle BCG прямой и угол при вершине G треугольника \triangle BGC равен либо α, если точки A и G лежат по одну сторону от прямой BC, либо π − α в противном случае. Поскольку sin(π − α) = sinα, в обоих случаях a = 2Rsinα. Повторив тоже рассуждение для двух других сторон треугольника получаем:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R.


См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home