Парадокс Кантора

Парадо́кс Ка́нторапарадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка

Предположим, что множество всех множеств V = \{x \mid x = x\} существует. В этом случае справедливо \forall x \forall t (x \in t \rightarrow x \in V), то есть всякое множество t является подмножеством V. Но из этого следует \forall t\; |t| \le |V|мощность любого множества не превосходит мощности V.

Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для V, как и любого множества, существует множество-степень \mathcal P(V), и по теореме Кантора |\mathcal P (V)| = 2^{|V|} > |V|, что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, V не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow A) для любой формулы A, не содержащей y свободно.

Другая формулировка

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно μ. Тогда по теореме Кантора 2μ > μ.

Выводы

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 г., впервые обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 г.) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow A) отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой A.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home