Формула Остроградского

Формула Остроградского — формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между n-кратным интегралом по области и (n − 1)-кратным интегралом по её границе. Пусть V = (v1,v2,...,vn) есть векторное поле на \R^n, такое что функции vi вместе со своими частными производными \partial v_i/ \partial x_j интегрируемы но Лебегу в ограниченной области Ω, граница \partial\Omega которой является объединением конечного множества кусочно гладких (n − 1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали ν. Тогда формула Остроградского имеет вид

\int_\Omega \operatorname{div} V=\int_{\partial \Omega}\langle\nu,V\rangle

где

\operatorname{div} V=\sum_{i=1}^n\frac{\partial v_i}{\partial x_i}

есть дивергенция поля V.

Иначе говоря, интеграл дивергенции поля по области равен его потоку сквозь границу области.

История

Для гладких функций эта формула была впервые получена в трёхмерном случае М. В. Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). На n-мерный случай была обобщена им же в 1834 (опублковано в 1838). С помощью этой формулы М. В. Остроградский нашёл выражение производной по параметру от n-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n-кратного интеграла. При n = 3 для одного частного случая формула Остроградского была получена Гауссом в 1813 , поэтому иногда она называется также формулой Остроградского — Гаусса. Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

Литература

  • Остроградский М. В., Note sur les integrales definies. Mem. 1'Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
  • Остроградский М. В., Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. Mem. 1'Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838)
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home