Несобственный интеграл

Содержание

Определение

Пусть f(x) определена на множестве от [a,+\infty) и \forall A>a \Rightarrow \exists \int_{a}^{A} f(x)dx. Тогда:

  1. Если \exists \lim_{A \to +\infty}\int_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int_{a}^{+\infty} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Риммана первого рода. В этом случае I=\int_{a}^{+\infty} f(x)dx называется сходящимся.
  2. Если \lim_{A \to +\infty}\int_{a}^{A} f(x)dx = \infty \ (\pm \infty или \not\exists), то обозначается \int_{a}^{+\infty} f(x)dx В этом случае интеграл называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена на (a,b] и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta). Тогда:

  1. Если \exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}, то используется обозначение I=\int_{a}^{b} f(x)dx и интеграл называется несобственным интегралом Риммана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty или \not\exists), то обозначение сохраняется, а \mathcal{I}=\int_{a}^{b} f(x)dx называется расходящимся к ''\infty'', \ ''\pm \infty'', или просто расходящимся.

Критерий Коши

1. Пусть f(x) определена на множестве от [a,+\infty) и \forall A>a \Rightarrow \exists \int_{a}^{A} f(x)dx = \mathcal{I}.

Тогда \mathcal{I}=\int_{a}^{+\infty} f(x)dx сходится \Leftrightarrow \exists A(\varepsilon) > a : \forall (A_2 > A_1 > A) \Rightarrow |\int_{A_1}^{A_2} f(x)dx| < \varepsilon

2. Пусть f(x) определена на (a,b] и \forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}.

Тогда \mathcal{I}=\int_{a}^{b} f(x)dx сходится \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \Rightarrow \exists \delta(\varepsilon) > 0 : \forall (0 < \delta_1 < \delta_2 < \delta) \Rightarrow |\int_{a+\delta_1}^{a+\delta_2} f(x)dx| < \varepsilon


Абсолютная сходимость

Интеграл \int_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \ (\int_{a}^{b} f(x)dx) называется абсолютно сходящимся если \int_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \ (\int_{a}^{b} |f(x)|dx) сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home