Главный идеал

Гла́вным идеа́лом в теории колец называется идеал i кольца R, порождённый некоторым элементом a из R.

  • Главным левым идеалом кольца R называется подмножество R вида Ra=\{ra: r\in R\}.
  • Главным правым идеалом называется подмножество вида aR=\{aR: r\in R\}.
  • Двусторонним главным идеалом называется подмножество вида RaR = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n: r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R\}.

Если R — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый a, обозначают через (a).

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо \mathbb{C}[x,y] многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных x и y. Идеал (x,y), порождённый многочленами x и y, (то есть идеал состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом a\in\mathbb{C}[x,y]; тогда на него должны делиться x и y. Это возможно, только если a — ненулевая константа. Но в (x,y) только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов. Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов a и b как порождающий элемент идеала (a,b).

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home