E (математическая константа)

Правильный заголовок этой статьи — e (математическая константа). Он показан некорректно из-за технических ограничений.

eматематическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. e = 2,718281828459045… Иногда число e называют числом Эйлера или неперовым числом. Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении.

Содержание

Способы определения числа e

Число e может быть определено несколькими способами.

  1. Через предел:
    e := \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n (второй замечательный предел).
  2. Как сумма ряда:
    e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}.
  3. Как единственное число a, для которого выполняется
    \int_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1.
  4. Как единственное положительное число a, для которого верно
    \frac d {dt} a^t = a^t.

Свойства

Экспонента, экспоненциальная функция — это функция f(x) = ex (также встречается обозначение exp(x)).

Особенность данной функции состоит в том, что она не изменяется при дифференцировании (определение e № 4 выше). Это значит, что производной от экспоненты является сама экспонента, т. е.:

\frac{de^x }{dx} = e^x.

Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения f'(x) = f(x) является функция f(x) = cex, где c — произвольная константа.

С помощью экспоненциальной функции можно смоделировать многие процессы возрастания и убывания.

Число e иррационально, т. е. его дробная часть бесконечна и непериодична. Оно является трансцендентным числом. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, т. е. вероятность появления каждой из десяти его цифр одинакова.

Число e фигурирует в формуле Эйлера:

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x), \,\!

где i — мнимая единица, квадрат которой равен −1.

Частный случай формулы Эйлера при x=\pi \,\! известен как равенство Эйлера, которое американский физик Ричард Фейнман назвал «сокровищем Эйлера»:

e^{i\pi}+1=0. \,\!

Эта формула интересна тем, что связывает пять «основных» математических констант: 0, 1, i, e и π.

Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n.

Интересен шаблон разложения числа e в бесконечную цепную дробь:

e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,, т. е.
e = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6 + \frac{1}{1 + \cdots}}}}}}}}}

Число e может быть также представлено через следующий предел:

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.

В 1873 г. бельгийским математиком Эженом-Шарлем Каталаном было выведено т. н. каталаново представление:

e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Джона Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.). Однако это название не совсем корректно, т. к. у него логарифм числа x был равен 10^7\cdot\,log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 г. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, сама же константа не определена. Предполагается, что автором таблицы был английский математик Вильям Отред. Саму же константу впервые вывел швейцарский математик Якоб Бернулли при попытке вычислить значение следующего предела:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Готфрида Лейбница Кристиану Гюйгенсу, 1690 и 1691 гг. Букву e начал использовать Леонард Эйлер в 1727 г., а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 г. Соответственно, e иногда называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler), поскольку он был очень скромным человеком и всегда старался подчеркнуть значимость труда других людей.

Способы запоминания

Число e можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов).

В другом варианте правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

В ещё одном небезынтересном способе предлагается запомнить число e с точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 − 1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): {666 \over 245} \approx 2,718.

В четвёртом способе предлагается запомнить e как \frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13}.

Грубое (с точностью до 0,001), но красивое приближение полагает e равным \pi \cdot \cos {\pi \over 6}. Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выраженем 5 \cdot \pi - 13.

«Правило Боинга»: e \approx 4 \cdot \sin 0,747 даёт неплохую точность 0,0005.

Курьёзы

В IPO компании Google в 2004 г. было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов (то есть e миллиардов долларов с точностью до целого числа).

9 июля 2004 г. на шоссе в Силиконовой долине появился рекламный щит, на котором был только следующий текст: {first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com («{первое 10-значное простое число, найденное в последовательности цифр числа e}.com»). По смыслу, это был зашифрованный Интернет-адрес. Такое число достаточно просто найти, составив программу — это 7427466391. Зашедшим на сайт 7427466391.com предлагалась более сложная задача, также связанная с числом e, решение которой надо было ввести в качестве пароля на сайте linux.com. Те, кому удавалось решить головоломку, попадали в конце концов на страницу www.google.com/lab-jobs, где сообщалось о вакансиях компании и предлагалось прислать резюме.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home