Уравнения Максвелла

Уравне́ния Ма́ксвелла — основные уравнения классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Уравнения были опубликованы Дж. К. Максвеллом в 1864.

Содержание

Уравнения в классической форме

Название Дифференциальная форма Интегральная форма Примерное словесное выражение
Закон индукции Фарадея \operatorname{rot}\,\mathbf{E} = -{\partial \mathbf{B} \over \partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\int_{\partial C} \ {d\mathbf{B}\over dt} \cdot d\mathbf{s} Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле
Закон Ампера
(с добавкой Максвелла)
\operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{j} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I_{\mathrm{encl}} + \frac{d \mathbf{\Phi_D}}{dt} Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Теорема Гаусса \operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s} = Q_{\mathrm{encl}} Электрический заряд является источником электрической индукции
Теорема Гаусса для магнитного поля
(в отсутствии монополей)
\operatorname{div}\,\mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = 0 Магнитная индукция не расходится (не имеет источников)
Закон Ома в дифференциальной форме \mathbf{j}=\lambda\mathbf{E} - Плотность электрического тока прямо пропорциональна напряжённости электрического поля. Это уравнение иногда вводится в систему уравнений Масвелла, чтобы она имела однозначное решение (так как это система с 5 переменными).

Здесь:

Уравнения в Гауссовой системе единиц

\operatorname{rot}\,\mathbf{H} - \mathbf{1 \over {c}} {\partial \mathbf{D} \over \partial t} = \mathbf{4\pi \over {c}}\mathbf{j}
\operatorname{rot}\,\mathbf{E} + \mathbf{1 \over {c}} {\partial \mathbf{B} \over \partial t} = 0
\operatorname{div}\,\mathbf{D} = 4\pi\rho
\operatorname{div}\,\mathbf{B} = 0


В вакууме, без зарядов и токов

Вакуум — это линейная, однородная, изотропная, бездисперсионная среда; и магнитная, и электрическая постоянные обозначаются через ε0 and μ0 (не учитывая очень малых квантовых эффектов).

\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}
\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}

Уравнения Максвелла для вакуума без электрических зарядов и токов такие:

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{H} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = - \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{H} = \ \ \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}


Эта система дифференциальных уравнений имеет простое решение — гармоническая, плоская волна. Векторы электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и друг другу, и находятся в фазе. Волна распространяется со скоростью:

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}

Максвелл обозначил эту величину c. Это просто скорость света в вакууме, а свет — это вид электромагнитного излучения. Общепринятые значения скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в следующей таблице:

Символ Имя Численное значение Единицы измерения СИ Тип
c \ Постоянная скорости света 2{,}99792458 \times 10^8 м/с LT−1
\ \varepsilon_0 Электрическая постоянная 8{,}854 \times 10^{-12} Ф / м L−3M−1T4I2
\ \mu_0 \ Магнитная постоянная 1,2×10−6 Гн / м LMT−2I−2

Детали

Релятивистская инвариантность

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности. В ковариантной форме уравнения приобретают вид:

J^\beta = \partial_\alpha F^{\alpha\beta} \,\!
0 = \partial_\gamma F_{\alpha\beta} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\alpha F_{\beta\gamma} \,\!,

где J^\alpha=(c\rho, \mathbf{j})\,\! — 4-ток, а F^{\alpha\beta}\,\! — антисимметрический тензор электромагнитного поля:

F^{\alpha\beta} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)


Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм

В вакууме ε и μ константы. Для записи уравнений Максвелла проще использовать язык дифференциальных геометрии и форм. Электромагнитное поле — это 2-форма F в четырёхмерном многообразии пространства-времени. Уравнения Максвелла сожмутся до второй формулы Бианчи

d\bold{F}=0,

где d — это ковариантная производная — дифференциальный оператор действующий на формы и уравнения источников

d * {\bold{F}}=\bold{J},

где (dual) Hodge star оператор * — это линейное преобразование из пространства 2-формы в дуальное пространство 4-2=2 форм в метрике пространства Минковского и системе СГС, где 1 / 4πε0 = 1. 3-форма J называется «электрический ток» или токовая 3-форма, удовлетворяющая уравнению непрерывности

d{\bold{J}}=0.

Внешняя ковариантная производная определена на любых многообразиях. Это формальное описание электромагнетизма подходит для четырёхмерных многообразий с метрикой Лоренца, что эквивалентно криволинейному пространству-времени Общей теории относительности.

В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается через более общее линейное преобразования пространства 2-форм.

C:\Lambda^2\ni\bold{F}\mapsto \bold{G}\in\Lambda^{(4-2)}

Это называется линейное приближение или материальные уравнения. Это преобразование совместимо с (dual) Hodge преобразованием. Уравнения Максвелла с учётом среды такие:

d\bold{F} = 0
d\bold{G} = \bold{J},

где ток J удовлетворяет уравнению непрерывности dJ= 0. Где поле — это внешнее дифференцирование (или линейная комбинация) базисных форм \bold{\theta}^p,

\bold{F} = F_{pq}\bold{\theta}^p\wedge\bold{\theta}^q.

для материальной среды

G_{pq} = C_{pq}^{mn}F_{mn},

причём коэффициенты поля антисимметричны относительно индексов, а материальные коэффициенты антисимметричны относительно перестановок пар. Тогда (dual) Hodge преобразование примет следующий вид

C_{pq}^{mn} = g^{ma}g^{nb} \epsilon_{abpq} \sqrt{-g}

только для инвариантного тензора данного типа с определённой метрикой.

Уравнения Максвелла — Фарадея и Максвелла — Ампера для дифференциальных форм в трёхмерном пространстве

Запишем уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм для трёхмерного пространства. Первая половина системы уравнений Максвелла называется уравнения Максвелла-Фарадея. При записи уравнений с использованием дифференциальных форм векторный оператор набла \nabla заменяется на операцию внешнего дифференцирования \bold{d} \wedge по пространству. Для 1-формы E, которая представлена векторной физической величиной, эта операция \bold{d} \wedge есть \operatorname{rot}. Для 2-формы В та же самая операция \bold{d} \wedge является \operatorname{div}. Получаетя уравнение для 2-формы:

\bold{d} \wedge \bold{E}\, + \, \partial_t \mathbf{B} = 0

и уравнение для 3-формы:

\bold{d} \wedge \bold{B} = 0

Все физические величины записаны в единицах СИ. Из теоремы де Рама следует: 2-форма В локально может быть представлена через 1-форму A:

\bold{B} = \bold{d} \wedge \bold{A}

Тогда:

\bold{d} \wedge ( \bold{E}\, + \, \partial_t \mathbf{A} ) = 0

Используя снова теорему де Рама, мы определяем скалярный потенциал электрического поля 0-форму \bold{\phi}. Приравниваем выражение в скобках в последней формуле -{ \bold{d} \phi} и напряжённость электрического поля, следовательно, есть:

\bold{E} = - \bold{d} \phi \, - \, \partial_t \mathbf{A}

Представление полей в терминах векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциала неоднозначно, так как потенциалы A и \bold{\phi } могут отличатся на любую скалярную функцию \bold{\psi}.

\phi \rarr \phi + \partial_t \psi \, , \, \bold{A} \rarr \bold{A} - \bold{d} \psi

Такое условие называется условием Лоренца. Эти уравнения не зависят от природы электромагнитной среды.

Вторая половина так называемых уравнений Максвелла (впрочем, сформулированных в таком виде Хевисайдом) называется уравнения Максвелла-Ампера. Вектор H заменяем на 1-форму H. Вектор D на 2-форму D. Тогда в нотации дифференциальных форм:

\bold{d} \wedge \bold{H}\, + \, \partial_t \mathbf{D} = \mathbf{J}

и уравнение для 3-формы:

\bold{d} \wedge \bold{D} = \rho_e.

В правых частях этих выражений находяться плотности. J 2-форма плотности электрического тока, или плотность магнитного потенциала. \bold{\rho_e} 3-форма плотность заряда, или плотность кванта электрического поля. Применим операцию внешнего произведения по пространственной физической величине к уравнению для 2-формы. Тогда с учётом \bold{d} \wedge \bold{d} \wedge \bold{H} = 0

получим уравнение непрерывности:

\bold{d} \wedge \bold{J}\, + \, \partial_t \mathbf{\rho_e} = 0

Все выражения, приведённые выше, можно представить в виде графов Десшампа:

\begin{matrix} 0-forms:&&&\phi&&&&&\\ &&&{\Big\downarrow}^{-d}&&&&\\ 1-forms:&A&\longrightarrow^{-dt}&E&&&H&\\ &{\Big\downarrow}^{d}&&{\Big\downarrow}^{-d}&&&{\Big\downarrow}^{d}&\\ 2-forms:&B&\longrightarrow^{-dt}&0&D&\longrightarrow^{-dt}&J\\ &{\Big\downarrow}^{d}&&&{\Big\downarrow}^{d}&&{\Big\downarrow}^{d}&\\ 3-forms:&0&&&\rho&\longrightarrow^{-dt}&0\\ \end{matrix}

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home