Многочлен

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной, это выражения вида

c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n,

где ci фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.

Простейшая функциональная зависимость, линейная, рассмотренная ещё в папирусе Ринда (1850—1650 до н.э.), является полиномиальной. Простота формулировки, наглядная геометрическая интерпретация, так же как и практическая необходимость обеспечили место линейным и квадратным уравнениям в древней математике. Со временем внутренняя логика математического знания потребовала аналогичного рассмотрения уравнений 3-й и выше степеней. Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компакных подмножествах евклидова пространства (смотри Теоремы Вейерштрасса о приближении), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определенные как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Содержание

Определение

Многочлен (или полином) от n переменнных — есть конечная формальная сумма вида

\sum c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n},

где I = (i1,i2,...,in) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c_0+c_1x^1+\cdots+c_nx^n

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается

R[x1,x2,...,xn].

Связанные определения

  • В случае, когда многочлен имеет один, два или три члена, его называют соответственно одночленом, двучленом или трёхчленом.
  • Множество мультииндексов I для которых коэффициенты cI ненулевые называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка многогранником Ньютона.
  • Многочлен вида c x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n} называется одночленом
    • Одночлен, соответствующий мультииндексу I=(0,\dots,\,0) называется свободным членом.
  • Полной степенью (ненулевого) одночлена c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n} называется целое число | I | = i1 + i2 + ... + in.
    • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
  • Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана.

Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x4 + 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие М. наз. абсолютно неприводимыми.

Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n] определяет полиномиальную функцию

p_R:A\to A.

Чаще всего рассматривают случай A = R.

В случае если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов) то функция f_p:R^n\to R полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p_1(x)\equiv x и p_2(x)\equiv x^2 из \Z_2[x] определяют тождественно равные функции \Z_2\to\Z_2.

Свойства

  • Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
  • Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
  • Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом.
    • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home