Оператор (математика)

Оператор (позделат. operator – работник, исполнитель, от operor – работаю, действую) – то же, что отображение. Термин часто употребляется в функциональном анализе и линейной алгебре, в особенности для отображений векторных пространств.

Оператор A из множества X в множество Y может быть не всюду определен; тогда говорят о его области определения DA = D(A). Для x \in X результат применения оператора A к x обозначают A(x) или Ax. Если X и Y - векторные пространства, то в множестве всех операторов из X в Y можно выделить класс линейных операторов; остальные операторы из X в Y наз. нелинейными. Если X и Y топологические векторные пространства, то в множестве операторов из X в Y естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс линейных ограниченных операторов и класс линейных компактных операторов (наз. также вполне непрерывными). Изучение линейных операторов в топологических векторных пространствах составляет важный раздел функционального анализа.


Содержание

Примеры

Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Такой оператор является обобщением понятия функции. В дополнение к проведению операции оператор возвращает значение. Когда мы устанавливаем функциональную связь между двумя переменными y и х и пишем:

y = f(x),

то под символом f мы понимаем правило, по которому заданному значению x приводится в соответствие вполне определённое значение y. Знак f есть символ некоторого преобразования, которому нужно подвергнуть величину x чтобы получить y. Соответственно виду этого преобразования функции могут быть линейными, нелинейными, алгебраическими, трансцеденентальными и т.д. Аналогичные понятия и соответствующая символика применяются в математике и в тех случаях, когда преобразованию подвергаются не величины, а функции. Преобразование функции x(t) согласно правилу A в другую функцию y(t) выглядит:

y(t) = A{x(t)}

или, проще,

y = Ax.

Примерами подобных преобразований могут быть, например, домножение на число:

y(t) = cx(t),

дифференцирование:

y(t) = {dx(t) \over dt}

и т.д.

Правило A, согласно которому функция x(t) преобразуется в функцию y, называют оператором, например, оператор дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т.д. Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции x(t) в другую функцию y того же аргумента t. Такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию одного аргумента в функцию другого аргумента, например:

y(t) = \int_0^t x(\tau)\,d{\tau}

или Преобразование Фурье из временной в частотную область:

F(\omega) = \mathcal{F} \{ f(t) \}.

В ещё более общем случае на вход может подаваться не одна, а несколько функций, равным образом на выходе могут появляться несколько функций - оператор преобразует одну совокупность функций в другую.


Расширение понятия функции заключается в том, что значение функции y, вообще говоря, в каждой точке tn зависит не только от x(tn), а от значений функции x во всех точках t. Поясним на примере дискретных функций. Перечислив все значения функций x и y, дадим новую формулировку оператора: оператор ставит одной числовой последовательности {xk} по определённому закону в соответствие некую другую числовую последовательность {yk}. Это записывается в виде {yk} = T{xk}, или, проще, y = Tx. При этом, в общем, каждое yk зависит от всех xk. Мы получаем таким образом n уравнений вида

{yk} = fk{x1, x2, ..., xn},

т.е. некоторое общее преобразование, где n - мощность входной последовательности.


Оператор широко применяется в науке и технике. Изучением свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Наиболее важным для практики является класс так называемых линейных операторов.

Еще в качестве примера оператора можно привести операцию умножения вектора длины n на матрицу размером m \times n. Этот оператор отображает n-мерное пространство векторов в m-мерное. Примечательно, что между оператором умножения вектора на матрицу и, скажем, оператором интегрирования функции с весом есть много общего, чем и занимается теория операторов.

Линейные операторы

Оператор L называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

1) может применяться почленно к сумме функций:

L{x1+x2} = L{x1} + L{x2};

2) постоянную величину с можно выносить за знак оператора:

L{сx} = сL{x};

Из 2), между прочим, следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L{0} = 0, т.е., образно говоря, при нулевом входном воздействии реакция системы равна нулю. Примеры линейных однородных операторов:

оператор дифференцирования:

1) L(x(\cdot)) = y(t) = {dx(t) \over dt};

оператор интегрирования:

2) y(t) = \int_0^t x(\tau)\,d{\tau};

оператор умножения на определённую функцию φ(t):

3) y(t) = φ(t)x(t);

оператор интегрирования с заданным «весом» φ(t):

4) y(t) = \int_0^t x(\tau){\phi}(\tau)\,d{\tau}

оператор взятия значения функции f в конкретной точке x0:

5) L(f) = f(x0);

оператор умножения вектора на матрицу:

6) b = Ax;


и т.д. Оператор L называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторой вполне определённой функции φ(t):

L{x(t)} = L0{x(t)} + φ(t),

где L0 — линейный однородный оператор. Примеры линейных неоднородных операторов:

1) y(t) = {dx(t) \over dt} + φ(t);
2) y(t) = \int_0^t x(\tau)\,d{\tau} + φ(t);
3) y(t) = φ1(t)x(t) + φ2(t);

где φ(t), φ1(t), φ2(t) — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.


В случае преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) линейные операторы характеризуются тем, что для них yk являются линейными функциями от xk:

yk = \sum_{k=1}^n T_{kl}\,x_l.

Коэффициенты Tkl образуют матрицу. Если {yk} рассматривают как векторы, то оператор называется тензором. В этом случае пишут \mathfrak{b} = \mathfrak{Ta}.

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид двумерной функции K(t, ω), и называется ядром линейного интегрального преобразования:

φ(t) = \int_V K(t,\omega)f(\omega)\,d{\omega} = Kf(ω).

Функция-операнд f(ω) в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда f(ω) заменяется вектором W. В этом случае φ(t) представимо (бес~)конечным рядом функций:

φ(t) = \sum_{i=1}^n T_i(t)w_i.

Единичный оператор

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

Ea = a,

т.е. как матричный оператор определяется равенством

\sum_k E_{ik}\,a_k = a_i

и как интегральный оператор — равенством

\int_\alpha^\beta E(x,t)a(t)\,dt = a(x).

Единичная матрица Eik записывается большей частью с помощью символа δik = δki (символ Кронекера). Имеем: δik = 1 при i = k и δik = 0 при ik.

Единичное ядро E(x,t) записывается в виде δ(xt) = δ(tx) (дельта-функция). δ(xt) = 0 всюду, кроме x = t, где функция становится бесконечной и притом такой, что

\int_\alpha^\beta \delta(x-t)\,dt = 1.

Запись

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

  • префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:
Q(x1, x2,...,xn);
  • постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:
(x1, x2,...,xn) Q;
  • инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:
x1 Q x2
  • позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
  • подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор Q над функцией f обычно для краткости записывается Qf вместо Q(f); скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением Q(fg). Q, действующий на f(x), также записывают (Qf)(x). Для обозначения некоторых операторов вводятся спецзнаки, например, унарные n! (факториал '!', справа от операнда), -n (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции \mathcal{F} \{ f(t) \}. Возведение в степень nx можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.

Литература

  • Вентцель Е.С. Теория вероятностей — 1998, стр. 388-390
  • Маделунг Э. Математический аппарат физики — стр. 34
  • (1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: "Большая российская энциклопедия".
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home