Производная функции

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (если таковой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

Содержание

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки x0 определена функция f. Если мы возьмём произвольное число x в этой окрестности, то приращение аргумента (обозначается Δx) в этом случае определяется как x−x0, а приращение функции (Δy) — как f(x)−f(x0). Тогда, если существует предел \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}, то его и называют производной функции f в точке x0.

Производной функцией данной функции называется функция, которая в любой точке области определения равна производной данной функции в этой точке.

Производная обозначается как f'(x), читается «эф-штрих от икс».

Функция, обладающая конечной производной в точке x, называется дифференцируемой в точке x.

Пример нахождения производной по определению

Пусть дана функция y=c, где c — некоторая константа. Тогда при любом x0 и при любом Δx изменение (приращение) функции равно нулю, следовательно, и производная такой функции равна нулю.

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно:

  • производная нулевого порядка — сама функция
  • производная n-го порядка для натурального n, большего 0, — производная производной (n−1)-го порядка

Иногда вместо «производная n-го порядка» говорят «n-я производная».

Производная n-го порядка функции f обычно обозначается через f(n)(x)

  • если n мало (1, 2, 3) — то употребляется соответственное количество штрихов, f′(x), f′′(x), f′′′(x), читается «эф-штрих от икс»; о второй — «эф-два-штриха от икс» и. т. д.
  • Исключительно редко, можно встретить историческое обозначение производной с помощью римской системы счисления (первая производная: f′(x), вторая: fII(x), шестнадцатая: fXVI(x)).


См. также

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home