Хирургия (топология)

Хирургия или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Конструкция

Пусть V — гладкое n-мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена (k − 1)-мерная сфера Sk − 1. Предположим, что нормальное расслоение сферы Sk − 1 в многообразии V тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность T сферы Sk − 1 в V разлагается в прямое произведение T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}, где Dnk + 1 — диск размерности nk + 1. Выбрав такое разложение, вырежем из V внутренность окрестности T. Получится многообразие, край которого разложен в произведение S^{k-1}\times S^{n-k} сфер. Точно такой же край имеет многообразие D^{k}\times S^{n-k}. Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие V' без края, которое и называется результатом хирургии многообразия V вдоль сферы Sk − 1.

Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности T сферы Sk − 1 в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы Sk − 1 в многообразии V, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия V'.

Число k называется индексом хирургии, а пара (k,nk + 1) её типом. Если V' получается из V хирургией типа (i,j), то V получается из V' хирургией типа (j,i). При k = 0 многообразие V' является дизъюнктным объединением многообразия V (которое может быть в этом случае пустым) и сферы Sn.

Примеры

  • При V = S2 и k = 2 в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при k = 1тор.
  • При V = S3 и k = 2 получается произведение S^1\times S^2.
  • Случай V = S3 и k = 1 сложнее: если сфера S1 вложена в S3 стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора ее тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы S1, то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

Свойства

Если V является краем (n + 1)-мерного многообразия M, то V' будет краем многообразия M', полученного из M приклеиванием ручки индекса k. В частности, если f — гладкая функция на многообразии M и a < b — такие числа, что множество f − 1([a,b]) компактно и содержит единственную критическую точку p, которая невырождена, то многообразие Vb = f − 1(b) получается из многообразия Va = f − 1(a) хирургией индекса k, где kиндекс Морса критической точки p. Более общим образом, любая перестройка V' многообразия V индекса k определяет некоторый бордизм (W;V,V'), и на триаде (W;V,V') существует функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса k, причем любой бордизм (W;V,V'), на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом. Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.

При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.

Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения f:M \to X замкнутого многообразия M в клеточное пространство X существуют такой бордизм (W;M,N) и такое отображение F:W \to X, что F | M = f, а F|_N :\to X является гомотопнческой эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов f^*:\pi_k(M)\to \pi_k(X) (где πk — гомотопические группы). Если это удается, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической K-теории.

Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно линейных и топологических многообразий.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home