Теорема Таниямы — Симуры

Теоре́ма Тания́мы — Симу́ры устанавливает важное соотношение между эллиптическими кривыми (объектами алгебраической геометрии) и модулярными формами — определёнными голоморфными функциями, изучаемыми в теории чисел. Доказательство теоремы, получившей своё название благодаря гипотезе Таниямы — Симуры, является результатом трудов Эндрю Уайлза, Кристофера Брюэля, Брайана Конрада, Фреда Даймонда и Ричарда Тейлора.

Если pпростое число, а E — эллиптическая кривая над \mathbb{Q} (полем рациональных чисел), то можно упростить уравнение, определив E по модулю p; для любого конечного множества значений p можно получить эллиптическую кривую над конечным полем Fp с np элементов. Введём последовательность ap = npp, являющуюся важным инвариантом эллиптической кривой E. Любая модулярная форма также даёт нам последовательность чисел (с помощью преобразования Фурье). Эллиптическая кривая, последовательность которой совпадает с такой же из модулярной формы, называется модуляром.

Теорема Таниямы — Симуры гласит: «Все эллиптические кривые над \mathbb{Q} являются модулярами».

Это утверждение впервые было высказано в виде гипотезы Ютакой Таниямой в сентябре 1955 года. Вместе с Горо Симурой он немного уточнил формулировку в 1957 году, но не смог продолжить работу из-за психологических проблем[1].

В 1960-х годах гипотезу внесли в программу Ленглендса по унификации математических гипотез. О гипотезе в 1970-е вспомнил и начал её активное изучение француз Анри Вейль, поэтому некоторые источники связывают эту гипотезу с его именем.

Гипотезой широко заинтересовались только тогда, когда в 1980-е Герхард Фрей предположил, что гипотеза Таниямы — Симуры (так она была названа тогда) является обобщением Великой теоремы Ферма, потому как любой контрпример к Великой теореме Ферма приводил в итоге к немодулярной эллиптической кривой. Кен Рибет немного позже доказал это предположение. В 1995 Эндрю Уайлз и Ричард Тейлор доказали особый случай теоремы Таниямы — Симуры (случай полустабильных эллиптических кривых), которого было достаточно для доказательства Великой теоремы Ферма.[2]

Полностью теорема Таниямы — Симуры была доказана в 1999 Брюэлем, Конрадом, Даймонд и Тейлором, которые, основываясь на работе Уайлза, доказали оставшиеся случаи.

Из теоремы Таниямы — Симуры следуют и другие теоремы теории чисел, похожие на Великую теорему Ферма. Например, «куб числа не может быть записан в виде суммы взаимно простых чисел, являющихся n-ной степенью натурального числа, если n ≥ 3»[3]

В марте 1996 года Уайлз получил премию Вольфа вместе с Робертом Ленглендсом. Несмотря на то, что ни один из них полностью не доказал теорему, было заявлено, что они внесли существенный вклад, значительно облегчивший дальнейшее доказательство.

Примечания

  1. Танияма покончил жизнь самоубийством в 1958 году, оставив довольно загадочную записку. Спустя примерно месяц самоубийство совершила его невеста Мисако Сузуки, оставив записку, в которой говорилось о том, что она должна воссоединиться со своим женихом.
  2. Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский Образовательный Журнал. — 1998. — Т. {{{volume}}}. — № {{{issue}}}. — С. 135–138.
  3. Случай n = 3 был известен ещё Эйлеру.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home