Размерность Лебега

Размерность Лебега или топологическая размерностьразмерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства X, обычно обозначается \dim X.

Содержание

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом \varepsilon>0 существует конечное открытое \varepsilon-покрытие X, имеющее кратность \le n+1;

При этом

  • \varepsilon-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр <\varepsilon, а
  • кратностью конечного покрытия пространства X называется наибольшее такое целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства X размерностью Лебега называется наименьшее целое число n такое, что ко всякому конечному открытому покрытию пространства X существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие а кратности n + 1.

При этом покрытие \mathcal P называется вписанным в покрытие \mathcal Q, если каждый элемент покрытия \mathcal P является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия \mathcal Q.

Примеры

История

Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность n-мерного куба равна n. Л. Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта \dim X (для класса метрических компактов) дал Урысон.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home