Конечная p-группа


Содержание

Основные свойства конечных p-групп

Определение. Группа называется конечной p-группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Теорема. Пусть P — конечная p-группа, тогда

  • P — нильпотентна.
  • | Z(P) | > 1.
  • Для любого 1\leq k <n в P существует нормальная подгруппа порядка pk.
  • Если H нормальна в P, то |H\cap Z(P)|>1.
  • P'\leq \Phi(P).
  • P/\Phi(P)\cong E_{p^d}.

Некоторые классы конечных p-групп

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых клаccов конечных p-групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального класса

Конечная p-группа порядка pn называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна n − 1.

Теорема. Пусть P — есть конечная p-группа максимального класса, тогда P' = Φ(P) и | Z(P) | = p.

Теорема. Единственными 2-группами порядка 2n максимального класса являются: диэдральная группа D_{2^n}, обобщённая группа кватернионов Q_{2^n} и полудиэдральная группа SD_{2^n}.

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группы

Конечная p-группа называется p-центральной, если \Omega_1(P)\leq Z(P). Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной p-группы.

Мощные p-группы

Конечная p-группа называется мощной, если [P,P]\leq P^p при p\neq 2 и [P,P]\leq P^4 при p = 2. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию p-центральной p-группы.

Регулярные p-группы

Конечная p-группа P называется регулярной, если для любых x,y\in P выполнено (xy)p = xpypcp, где c\in P'. Регулярными будут, например, все абелевы p-группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

Теорема. Любая подгруппа и фактор-группа регулярной p-группы регулярна.

Теорема. Конечная p-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.

Теорема. Конечная p-группа порядка не большего pp является регулярной.

Теорема. Конечная p-группа класс нильпотентности которой меньше p является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при p > 2.

Несколько неожиданной является следующая

Теорема. Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядков

Число различных p-групп порядка pn

  • Число порядка p групп равно 1: группа Cp.
  • Число неизоморфных групп порядка p2 равно 2: группы C_{p^2} и C_{p}\times C_{p}.
  • Число неизоморфных групп порядка p3 равно 5, из них три абелевы группы: C_{p^3}, C_{p^2}\times C_{p}, C_{p}\times C_{p}\times C_{p} и две неабелевы: при p > 2E_{p^3}^+ и E_{p^3}^-; при p = 2 — D8, Q8.
  • Число неизоморфных групп порядка p4 равно 15 при p > 2, число групп порядка 24 равно 14.
  • Число неизоморфных групп порядка p5 равно 2p + 61 + 2GCD(p − 1,3) + GCD(p − 1,4) при p\geq 5. Число групп порядка 25 равно 51, число групп порядка 35 равно 67.
  • Число неизоморфных групп порядка p6 равно 3p2 + 39p + 344 + 24GCD(p − 1,3) + 11GCD(p − 1,4) + 2GCD(p − 1,5) при p\geq 5. Число групп порядка 26 равно 267, число групп порядка 36 равно 504.
  • Число неизоморфных групп порядка p7 равно 3p5 + 12p4 + 44p3 + 170p2 + 707p + 2455 + (4p2 + 44p + 291)GCD(p − 1,3) + (p2 + 19p + 135)GCD(p − 1,4) + (3p + 31)GCD(p − 1,5) + 4GCD(p − 1,7) + 5GCD(p − 1,8) + GCD(p − 1,9) при p > 5. Число групп порядка 27 равно 2328, число групп порядка 37 равно 9310, число групп порядка 57 равно 34297.

p-группы порядка p^n, асимптотика

При n\rightarrow\infty число неизоморфных групп порядка pnасимптотически равно p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}.

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

Группа автоморфизмов конечной p-группы

Для групп p-автоморфизмов конечной p-группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течении более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

Гипотеза. Пусть P является нециклической p-группой порядка |P|\geq p^3, тогда P\leq |Syl_p(Aut(P))|.

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса p-групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более p7, групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза Хигмена

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка q нильпотентна.

Гипотеза. Пусть группа P обладает регулярным автоморфизмом простого порядка q. Тогда её класс нильпотентности равен cl(P)=\frac{q^2-1}{4}.

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: cl(P) < qq (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза Бернсайда

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с m образующими и периодом n (то есть все её элементы x удовлетворяют соотношению xn = 1), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через B(m,n). Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа B(m,2) является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы B(m,3) равен 3^{\frac{m(m^2+5)}{6}}. Однако, как показали Новиков и Адян, при m\geq 2 и при любом нечётном n\geq 4381 группа B(m,n) бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных m-порождённых групп периода n ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных p групп она означает, что существует лишь конечное число p групп данной экспоненты и с данным числом образующих.


Нерегулярные p-группы

Классификация нерегулярных p-групп порядка pp + 1.

Литература

  • Белоногов В.А., Задачник по теории групп. Москва, Наука, 2000.
  • Холл М., Теория групп. Издательство иностранной литературы, Москва, 1962.
  • Хухро E.И., O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп, Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359-371.
  • Berkovich Y., Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
  • Berkovich Y., Janko Z., Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
  • Gorenstein D., Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B., Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
  • Lazard M., Groupes analytiques p-adiques, Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389-603.
  • Lubotzky A., Mann A., Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506-515.
  • Weigel T., Combinatorial properties of p-central groups, Freiburg Univ., 1996, preprint.
  • Weigel T., p-Central groups and Poincare duality, Freiburg Univ., 1996, preprint.

Ссылки

Система GAP.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home