Плоскость (математика)

Плоскость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А.К.Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816-1818), нормальное уравнение ввёл Л.О.Гессе (1861).

Некоторые характеристические свойства плоскости

  • П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую соединяющую любые её точки;
  • П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
  • П. в n-мерном пространстве есть полное множество точек (n-1)-мерного пространства.

Уравнения плоскоcти

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1-й степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости
(1) Ax + By + Cz + D = 0,

где A,B,C и D - постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0

где \mathbf{r} - радиус-вектор точки M(x,y,z), вектор \mathbf{N}=(A,B,C) перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора \mathbf{N}:

\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен уравнение наз. неполным. При D = 0 П. проходит через начало координат, при A = 0 (или B = 0, C = 0) П. параллельна оси Ox (соответствённо Oy или Oz). При A = B = 0 (A = C = 0, или B = C = 0) П. параллельна плоскости Oxy (соответственно Oxz или Oyz).

  • Уравнение плоскости в отрезках:
\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,

где a = − D / A,b = − D / B,c = − D / C - отрезки, отсекаемые П. на осях Ox,Oy и Oz.

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору \mathbf{N}(A,B,C):
A(xx0) + B(yy0) + C(zz0) = 0;

в векторной форме:

((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.
  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(xi,yi,zi), не лежащие на одной прямой:
((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_2}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_3}))=0

(смешанное произведение векторов), иначе

\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x-x_2&y-y_2&z-z_2\\ x-x_3&y-y_3&z-z_3\\ \end{matrix}\right|=0.
  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
(2) xcosα + ycosβ + zcosγ − p = 0;

в векторной форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N^0})=0,

где \mathbf{N^0}- единичный вектор, p - расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

(знаки μ и D противоположны).

  • Отклонение точки M1(x1,y1,z1) от плоскости
δ = x1cosα + y1cosβ + z1cosγ − p;

δ > 0,если Mi и начало координат лежат по разные стoроны П., в противоположном случае δ < 0. Расстояние от точки до П. равно | δ | .

  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};

Если в векторной форме, то

\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.
  • Плоскости параллельны, если
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} или [\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0.
  • Плоскости перпендикулярны, если
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 или (\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0.
  • Пучок плоскостей – уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плокостей
α(A1x + B1y + C1z) + β(A2z + B2y + C2z) = 0,

где α и β - любые числа, не равные одновременно нулю.

 

Видео:

Плоскость. Прямая. Луч. Математика 5 класс. Часть 4
Плоскость. Прямая. Луч. Математика 5 класс. Часть 4 Производство фильма - Кинокомпания Сова-фильм http://www.sova-film.com http://www.sova-film.ru Лидер рынк...
Математика 5-6 классы. Урок 37. Координатная плоскость
Видеоуроки математики для школьников и абитуриентов помогут Вам ликвидировать пробелы в знаниях, подготов...
Математика 6 класс. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ. ГРАФИКИ.
Видео-курс по программе математики 6 класса. Учитель математики пошагово и в доступной форме объяснит вам материал и станет вашим помощником при подготовке к...
Математика. Ноль. Точка и плоскость. 3 выпуск.
В этом выпуске профессор докажет, что табуретка не может стоять на 2-х ножках, расскажет кое-что интересное о нуле (начало новых суток, рождение человека и т...
Плоскость. Математика.5 класс.
Плоскость. Математика.5 класс.
Математика. Выпуск 18. Координатная плоскость.
Ведущий - Архангельский Александр Игоревич, кандидат педагогических наук, доцент кафедры общей и прикладной математики МГИУ. Математика. Выпуск 18. Координат...
13. Уравнение прямой на плоскости (формулы)
Аналитическая геометрия. Уравнение прямой на плоскости (формулы) Видеокурс "Высшая математика "с нуля" рассчитан на студентов высших учебных заведений, обуча...
1. Метод координат на плоскости. Основные формулы
Аналитическая геометрия. Метод координат на плоскости. Основные формулы Видеокурс "Высшая математика "с нуля" рассчитан на студентов высших учебных заведений...
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home