Плоскость (математика)

Плоскость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А.К.Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816-1818), нормальное уравнение ввёл Л.О.Гессе (1861).

Некоторые характеристические свойства плоскости

  • П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую соединяющую любые её точки;
  • П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
  • П. в n-мерном пространстве есть полное множество точек (n-1)-мерного пространства.

Уравнения плоскоcти

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1-й степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости
(1) Ax + By + Cz + D = 0,

где A,B,C и D - постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0

где \mathbf{r} - радиус-вектор точки M(x,y,z), вектор \mathbf{N}=(A,B,C) перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора \mathbf{N}:

\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен уравнение наз. неполным. При D = 0 П. проходит через начало координат, при A = 0 (или B = 0, C = 0) П. параллельна оси Ox (соответствённо Oy или Oz). При A = B = 0 (A = C = 0, или B = C = 0) П. параллельна плоскости Oxy (соответственно Oxz или Oyz).

  • Уравнение плоскости в отрезках:
\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,

где a = − D / A,b = − D / B,c = − D / C - отрезки, отсекаемые П. на осях Ox,Oy и Oz.

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору \mathbf{N}(A,B,C):
A(xx0) + B(yy0) + C(zz0) = 0;

в векторной форме:

((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.
  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(xi,yi,zi), не лежащие на одной прямой:
((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_2}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_3}))=0

(смешанное произведение векторов), иначе

\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x-x_2&y-y_2&z-z_2\\ x-x_3&y-y_3&z-z_3\\ \end{matrix}\right|=0.
  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
(2) xcosα + ycosβ + zcosγ − p = 0;

в векторной форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N^0})=0,

где \mathbf{N^0}- единичный вектор, p - расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

(знаки μ и D противоположны).

  • Отклонение точки M1(x1,y1,z1) от плоскости
δ = x1cosα + y1cosβ + z1cosγ − p;

δ > 0,если Mi и начало координат лежат по разные стoроны П., в противоположном случае δ < 0. Расстояние от точки до П. равно | δ | .

  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};

Если в векторной форме, то

\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.
  • Плоскости параллельны, если
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} или [\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0.
  • Плоскости перпендикулярны, если
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 или (\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0.
  • Пучок плоскостей – уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плокостей
α(A1x + B1y + C1z) + β(A2z + B2y + C2z) = 0,

где α и β - любые числа, не равные одновременно нулю.

 

Видео:

Математика "с нуля". Урок 37. Координатная плоскость
Видеоуроки математики для школьников и абитуриентов помогут Вам ликвидировать пробелы в знаниях, подготовиться к контрольным, тестам, ГИА, ЕГЭ, ВНО (ЗНО), из...
Математика 6 класс. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ. ГРАФИКИ.
Видео-курс по программе математики 6 класса. Учитель математики пошагово и в доступной форме объяснит вам материал и станет вашим помощником при подготовке к...
Координатная плоскость - MirUrokov.ru - Видеоурок по математике
Еще больше уроков на http://mirurokov.ru/
Математика. Выпуск 18. Координатная плоскость.
Ведущий - Архангельский Александр Игоревич, кандидат педагогических наук, доцент кафедры общей и прикладной математики МГИУ. Математика. Выпуск 18. Координат...
Математика. Ноль. Точка и плоскость. 3 выпуск.
В этом выпуске профессор докажет, что табуретка не может стоять на 2-х ножках, расскажет кое-что интересное о нуле (начало новых суток, рождение человека и т...
Плоскость. Прямая. Луч. Математика 5 класс. Часть 4
Плоскость. Прямая. Луч. Математика 5 класс. Часть 4 Производство фильма - Кинокомпания Сова-фильм http://www.sova-film.com http://www.sova-film.ru Лидер рынк...
Математика "с нуля". Урок 83. Декартовы координаты на плоскости. Расстояние между точками
Видеоуроки математики для школьников и абитуриентов помогут Вам ликвидировать пробелы в знаниях, подготовиться к контрольным, тестам, ГИА, ЕГЭ, ВНО (ЗНО), из...
Математика с нуля. Урок 182. Параллельность прямой и плоскости
Видеоуроки геометрии для школьников и абитуриентов помогут Вам ликвидировать пробелы в знаниях, подготовиться к контрольным, тестам, ГИА, ЕГЭ, ВНО (ЗНО), изу...
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home