Кольцо (алгебра)

В абстрактной алгебре, кольцо́ — естественное обобщение целых чисел. Чуть точнее, это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел.

Содержание

Определения

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

  1. \forall a, b \in R \left(a + b = b + a\right)коммутативность сложения;
  2. \forall a, b, c \in R \left(a + (b + c) = (a + b) + c\right)ассоциативность сложения;
  3. \exists 0 \in R\; \forall a \in R \left(a + 0 = 0 + a = a\right) — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. \forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right) — существование обратного элемента относительно сложения;
  5. \forall a, b, c \in R \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right.дистрибутивность.

Кольца могут обладать следующими свойствами:

  • ассоциативность умножения: \forall a, b, c \in R \left(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\right) (ассоциативное кольцо);
  • наличие единицы: \exists e \in R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right) (кольцо с единицей);
  • коммутативность умножения: \forall a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right) (коммутативное кольцо);
  • отсутствие делителей нуля: \forall a, b \in R \left(a \times b = 0 \Rightarrow a = 0 \or b = 0\right).

Обычно под кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей.

Кольца, для которых выполнены все вышеперечисленные условия, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).

Связанные определения

  • Непустое подмножество A\subset R назывется подкольцом R, если A само является кольцом относительно операций, определенных в R.
  • Ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
  • Коммутативное тело называется полем.

Примеры

См. также

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home