Сигма-конечная мера

Си́гма-коне́чная ме́ра в функциональном анализе - бесконечная мера, такая что всё пространство может быть представлено в виде объединения измеримых множеств конечной меры.

Определение

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) - пространство с мерой. Мера μ называется σ-конечной, если существует счётное семейство измеримых множеств \{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}, такое что \mu(A_i) < \infty,\; i\in \mathbb{N} и

X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i.

Примеры

\mathbb{R} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} [-i,i],\; m([-i,i]) = 2i<\infty,\; i=1,2,\ldots.
  • Счётная мера μ на \mathbb{R}, то есть такая, что \mu(\{x\}) = 1,\; \forall x \in \mathbb{R} не является σ-конечной, ибо счётное объединение любых множеств конечной меры в этом случае будет счётно, в то время как всё пространство несчётно.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home